Ещё раз о "прозрачности" ВТФ для всякого, окончившего среднюю школу:
Великая теорема Ферма в пределах элементарной алгебры Согласно теореме Ферма в уравнении z^n = x^n + y^n в целых степенях только при степени 2 все три числа могут быть целыми.
В теореме Ферма целое число z = (x + y) есть бином, так что требуется доказать, что в уравнении:
(x + y)^n = x^n +s^n (1)
при целых: x, y и n>2, число s не может быть целым.
Возводя целое число (x + y) в степень 2, видим, что квадрат целого числа в степени 2 действительно равен однородному биному степени 2:
(x + y)^2 = x^2 +
y(2x + y)
Так что существуют целые числа x и y, такие что уравнение y(x + y) = s^2 решается в целых числах, называемых «пифагоровыми».
Понятно, что во всех целых степенях, больших 2, целое число (x + y)^n равно однородному многочлену степени n целых чисел, число членов, которого больше 2. Например, при степени 3, их три:
(x + y)^3 = x^3 + 3xy(x + y) + y^3 (2)
Или, представляя второе и третье слагаемое степеней 3 в (2) числами в степени 3:
(x + y)^3 = x^3 + s^3 + r^3 (3)
при условии, что 3xy(x + y) + y^3 = s^3 + r^3, решаем неопределённое уравнение (3) в целых числах x, y, s и r.
Вообще, полная целочисленная степень целого числа равна полному же однородному многочлену целых чисел той же степени.
Возводя бином целых чисел в степень 4, получаем равный ему трёхчлен степени 4:
(x + y)^4 = x^4 + s^4 + r^4 (4)
Это неопределённое уравнение тоже решается в целых числах степени 4.
Известны, по крайней мере, два набора целых чисел, ему удовлетворяющих.
Возводя бином целых чисел во всякую целую степень, видим, что полная целая степень целого числа, представляемого биномом целых чисел, в целой степени равна однородному многочлену целых чисел той же степени, число членов которого более 2-х при всех степенях, больших 2.
Уравнение ВТФ при степенях, больших 2, есть «неполная степень целого числа», следовательно, число:
s = ((x+y)^n – x^n)^1/n (5)
есть число иррациональное при целых x, y и n>2.
Примечание:
Для уравнений (x + y)^n = x^n + s^n можно алгебраически показать, что они не разрешимы в целых числах при степенях 3, 4 и 5, так как сводятся к решению уравнений степеней 2,3 и 4, содержащих квадратные корни из целых чисел, неравных полным квадратам при целых числах x и y.
К. т. н., доцент Н. А. Лошкарёв
