Спасибо за ответ!
Я пытался переслать Вам текст тут, но из-за лимита объёма не смог. Туго сообразил, что можно фрагментами. Сегодня уже не успею, я в сети до 14-ти по Москве. Мой комп виснет всё чаще. С трудом удалось войти в Ваш форум...
В "Известиях науки" по Николай Алексеевич Лошкарёв увидите "О наименьшем числе целых чисел в целой степени, сумма которых равна целому числу в той же степени". Я толком не понял:она в блогах, что ли? Сейчас взгляну...
Для Вас же у меня готов вариант её. Простите, проблем бы не было, если бы можно было отправлять почтой электронной "с прикрепить ещё..." Тогда бы и с формулами в обычном математическом виде проблемы не было бы. У меня "техника" примитивная - только комп с 98 "винтом"... и то с каким то "убогим".
Суважением к. т. н., доцент Н. А. ЛошкарёвДобавлено (25.07.2009, 11:37)
---------------------------------------------
Н. А. Лошкарёв
О представлении целого числа в целой степени суммой
наименьшего числа целых чисел в той же степени каждое
«Великая теорема Ферма» является лишь частью проблемы представления целого числа в целой степени, так как она имеет целью доказать, что однородный двучлен целых чисел при целых степенях 3 и более не есть целое число в степени двучлена. Представляя всякое число, целое в частности, суммой чисел, приходим к единому пониманию числа в любой целой степени, со степени 1 начиная, как однородного симметричного многочлена, усложняющегося по мере роста степени. Целое число z = x+y или, в виде суммы любого иного числа целых чисел: x+y+r или x+y+r+s, например, - во всяком случае однородный многочлен степени 1. Будучи возводим в любую целую степень, этот многочлен остаётся однородным со строго определённым числом членов, зависящим от числа слагаемых его в исходной, первой степени и самой степени. Поэтому членов его становится наименьшим при условии, что первая степень его является биномом. Отсюда два следствия:
1. Полная степень целого числа есть сумма определённого числа слагаемых однородного многочлена той же степени.
2. Полная степень целого числа в целой степени есть однородный многочлен с наименьшим числом членов, определяемым числом членов разложения бинома целых чисел.
Случаи целых чисел в целой степени, равных сумме одинаковых целых степеней целых чисел, неотличимы по сути от всех прочих однородных многочленов за исключением того, что первые степени не всех их членов есть числа рациональные. Например, (7+2)^3 =343 + 378 + 8 = 1^3 + 6^3 +8^3 = (1+8)^3 = (4+5)^3 все изображают число 9 в степени З разными, численно равными, однородными многочленами степени 3. Число вариантов этих многочленов бесконечно, но всегда это трёхчлен.
Поэтому однородный двучлен пары целых чисел в целой степени n і 3 каждое, не равен какому бы то ни было целому числу в целой степени, это неполная степень целого числа. Это целая степень числа иррационального.
В самом деле, достаточно представить целое число z = (A+x) в целой степени n предположительно являющимся суммой двух целых чисел в степени n:
z^n = A^n + B^n (1)
а целое число B = ( A+y), получим уравнение:
(A+x)^n– A^n = (A+y)^n (2)
Нетрудно убедиться в том, что оно решается в целых числах только при степени 2. Романтические попытки получить его решение в целых числах, увеличивая степень n, не увенчались успехом потому, что слева при n>2 имеем неполную степень целого числа, а справа полную степень числа иррационального.
Итак, целое число в целой степени n, являющееся биномом в целой степени n, вполне определённый однородный симметричный многочлен степени n, число членов которого определяется и его степенью и формой представления. Пример однородного симметричного многочлена степени 3, эквивалентного целому числу в степени 3:
z^3 = (x+y)^3 = x^3 +3x^2y+3xy^2+y^3 =x^3+3xy(x+y)+y^3 =x^2(x+3y)+y^2(3x+y), а меж тем, и четырёхчлен степени 3, и трёхчлен и, наконец, двучлен степени 3 различным образом представляют целое число в степени 3. Во всех них суммируются некие числа в степени 3, но есть, помимо разной компактности, и неприметная на первый взгляд особенность – разное число целых чисел, образующих эти многочлены. В четырёхчлене их два: x, y. В трёхчлене их три: (x+y), x, y. А в двучлене целых 5:(x+y), x, y, (x+3y), (3x+y).
Возведение числа в целую степень есть удобная запись кратного умножения, так что исходных целых чисел по сути было 3: z^3 = zzz. Естественно, что есть числа в степени 3, эквивалентные сумме трёх целых чисел, в степени 3 каждое. Например, 9^3 = 1^3 + 6^3 +8^3. Но не может быть пары рациональных чисел, в степени 3 каждое, таких, что их сумма равна рациональному числу в степени 3. Теорема о «двух кубах» доказана великим Эйлером довольно сложно. Но каждый может убедиться в простоте её доказательства, используя формулы (1) и (2).
Добавлено (25.07.2009, 11:48)
---------------------------------------------
Продолжение.
Разумеется, что целое число в целой степени, представляемое целочисленным триномом z=(x+y+s), может быть представлено иными многочленами соответствующей степени, но принцип определения числа их слагаемых остаётся тем же с той разницей, что обнаружится зависимость и от степени и от «степени свободы» аргументов числа, возводимого в степень. Так как теперь их 2, а степень, положим, 3, то число переменных однородного многочлена не должно быть более 6, чтобы предполагать существующим решение неопределённого уравнения 3 в целых числах. В самом деле, раскрывая указанный трином в степени 3, можно получить компактную его форму такой:
z^3 = (x+y+s)^3 = x^2(x+3y+3s) + y^2(3x+y+3+s) + s^2(3x+3y+s) + 6xys.
В этом четырёхчлене степени 3 аргументов оказалось 7 при необходимых 6. Следовательно, невозможно решение его в целых числах степени 3. Но простое соображение говорит в пользу того, что решение однородного многочлена степени 3 в целых числах возможно при однородном пятичлене степени 3:
10^3 = 9^3 +6^3+ 4^3 –2^3 –1^3.
Преобразование разложения тринома степени 3 подтверждает наш «критерий истины» - однородный многочлен степени 3 с шестью аргументами: (x+y+s), (x+y), (x+s), x, y, s существует:
z^3 = (x+y+s) = (x+y)^3 + (x+s)^3 + 3ys(x+y) +3ys(x+s) – x^3
подтверждая правило: число аргументов однородного многочлена, позволяющего представить целое число в целой степени суммой целых чисел в той же степени каждое, не должно быть более необходимого», диктуемого логикой кратного умножения |возведения в степень|..
Для степени 3, как видно из примера, целое число в целой степени может быть эквивалентно минимум трёхчлену целых чисел в степени 3 каждое, т. е. с тремя аргументами. При степени 4 найти форму трёхчлена степени 4 уже не столь просто:
z^4 = (x+y)^4 = x^2(x+2y)^2 + 2xy^2(x+2y) + y^4 (3)
z^4 = (x+y)^4 = x^4 + 2x^2y(2x+y) + y^2(2x+y)^2 (4)
Добавлено (25.07.2009, 11:58)
---------------------------------------------
Продолжение.
Как видим, оба многочлена степени 4 симметрические относительно четырёх аргументов: (x+y), (2x+y), x, y. Конечно, можно переписать их, заменив y=(z-x), но при этом в какой то мере камуфлируется самое важное – основополагающая идея того, что всякое число есть сумма чисел. Именно она и понятие «неполная степень целого числа» собственно и лежат в основе алгебраического доказательства «великой теоремы Ферма» и определении наименьшего числа членов однородного многочлена степени n, эквивалентного целому числу в целой степени. Бином Ньютона представляет полную степень целого числа в целой степени. Его компактная форма в виде наименьшего числа членов его разложения при условии, что число его аргументов |целых чисел в разных степенях| не более степени, определяет необходимое наименьшее число членов неопределённого диофантова уравнения, эквивалентного целому числу в целой степени n.
Возвращаясь к уравнению (2), стоит заметить, что число членов разложения бинома растёт с увеличением степени при одном или двух его сомножителях, так что «неполнота» суммы двух слагаемых в ВТФ становится только очевиднее с увеличением степени. Тем самым справедливость ВТФ при степени 3 уже предопределяет её правильность при всех прочих целых степенях.
Как уже сообщалось, известны два примера решения в целых числах неопределённого уравнения степени 4: a^4 + b^4 + c^4 = d^4. Разложение бинома степени 5 приводит |с заменой аргумента y на (z-х)| к трёхчлену степени 5: z^5 = x^4(5z-4x) + 10x^2 z(z-x)^2 + (4x+z)(z-x)^4 с пятью аргументами:z, x, (5z-4x), (z-x), (4x+z). Так что числовой пример решения в целых числах этого неопределённого уравнения был бы весомым аргументом в пользу теоретических предположений.
Процедура предварительного трансформирования разложения бинома в целой степени для представления его компактным многочленом степеней целых чисел обусловлена самим правилом записи его последовательных членов – каждый последующий составлен множителями, степени которых изменяются на единицу. Поэтому, для начала, достаточно объединить их в пары, вынося общие множители.
Легко убедиться, что при степенях 5, 6 и 7 многочлены имеют числа слагаемых 3, 4, и 4 с числом аргументов, равным степени: 5, 6 и 7, соответственно. Но, начиная со степени 8 при растущем числе слагаемых число аргументов на единицу меньше числа степени, вследствие увеличения числа членов, содержащих по три сомножителя аргумента. При всем том, как и следовало ожидать, с увеличением степени растёт и число членов этих однородных многочленов и числа аргументов. Как скоро представится возможность осуществления изложенных теоретических предположений в конкретных числах для уравнений хотя бы степеней 5, 6 и 7 неизвестно, учитывая громадность чисел в найденных решениях неопределённых уравнений степени 4.
Таким образом, как нам представляется, нам удалось обратить внимание читателей на положительный аспект проблемы решения в целых числах неопределённых уравнений всякой целой степени, несколько «затеняемый» по сути негативным содержанием «великой теоремы Ферма».
Уважаемый Александр Ильич!
Я попытался отправить здесь вариант для Вашего сайта. Надеюсь, что все вышло путём.
С уважением к. т. н., доцент Н. А. Лошкарёв
