=======================

Поскольку доказательство просматривается на всех этапах, я привожу его блок-схему.

Теорема о представлении

Если в простой базе n двузначное окончание числа a, не кратного n, есть двузначное окончание некоторого числа a’ⁿ, то существует число Aⁿ с окончанием a, т.е. a=Aⁿ-Pn^k, где n^k>a.

(Простейшее, но объемистое, доказательство леммы основано на фундаментальной теореме:
В системе счисления с простым основанием n>2 для любого однозначного числа a, не равного нулю, и заданной цифры d существует единственная цифра g, что число ag оканчивается на цифру d.
Я не имею возможности сослаться на источники, но весь аппарат преобразования цифр был многократно изложен мною на сайтах mmonline и dxdy. Весь этот простой аппарат, многократно проверенный участниками форумов, я изложу еще раз, но после завершения доказательства и признания его верным при допущении верности моей теории счисления в базе с простым основанием.)

Следствие из Теоремы

Если в простой базе n двузначное окончание числа a, не кратного n, есть двузначное окончание некоторого числа Aⁿ, то существует такое число a^{n^t}, что a’^{n^t}=a+Pn^k, где k сколь угодно велико.

(Доказательство основано на простой лемме:
Последние k цифр числа a не влияют на значение (k+1)-й цифры числа aⁿ.)

Доказательство ВТФ

Представим в равенстве
1°) aⁿ+bⁿ=cⁿ числа a, b, c, не кратные n, согласно Следствию из Теоремы о представлении:
2°) a=a’^{n^t}-Pn^k, b=b’^{n^t}-Qn^k, c=c’^{n^t}-Rn^k, где k сколь угодно велико.

Тогда сколь-угодно длинные окончания чисел a^n-1, b^n-1, c^n-1 (в равенстве 1°) оканчиваются на 1 и, следовательно, число u=a+b-c оканчивается на сколько-угодно большое число нулей (и в случае, если abc не кратно n, и в случае, если одно из чисел a, b, c кратно n).

Понятно, текст еще сырой и по ходу дела он будет уточняться.

Добавлено (17.03.2010, 00:11)
---------------------------------------------

Добавлено (17.03.2010, 18:29)
---------------------------------------------
Блок-схема последнего (от 16 марта) проекта доказательства

1. По последней (отличной от нуля) цифре каждого простого делителя числа a определяем (с помощью малой теоремы Ферма) последнюю цифру числа a^n-1 в простой базе n>2; это есть 1.

2. Поскольку в равенстве aⁿ+bⁿ=(a+b)R (и двух аналогичных) число R (не кратное n) есть r^n, то двузначное окончание числа R есть 1 (или 01).

3. Из этого следует (на основании одной из S-теорем), что двузначные окончания чисел (не кратных n) a^n-1, b^n-1, c^n-1 есть 1.

4. Из этого следует (на основании одной из S-теорем), что двузначные окончания каждого из простых делителей чисел (не кратных n) R и двух других (не кратных n) есть 1.

5. Поскольку в равенстве aⁿ+bⁿ=(a+b)R (и двух аналогичных) число R (не кратное n) есть rⁿ, то трехзначное окончание числа R есть 1 (или 001).

Добавлено (25.03.2010, 00:18)
---------------------------------------------
Приболел. Надеюсь, через неделю поправлюсь.

Добавлено (25.03.2010, 19:15)
---------------------------------------------
Великая теорема Ферма (читать не обязательно – текст для тех, кто хочет понять путь доказательства, найденный П.Ферма, хорош для проверки своих возможностей).

Допустим, что для натуральных и взаимно простых чисел A, B , C равенство
1°) Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ, где AB не кратно простому n>2 (остальные случаи доказываются совершенно аналогично) существует.

Тогда, как известно, из равенства 1° следуют равенства:
2°) Aⁿ=Cⁿ-Bⁿ=(C-B)P=aⁿP; Bⁿ=Cⁿ-Aⁿ=(C-A)P=bⁿQ.

Доказательство (с замаскированной ошибкой, позволяющей в полную меру оценить результат П.Ферма – самое интересное начнется ПРИ исправлении этой ошибки!).

Возьмем простой делитель m вида m=pm+1 числа R в равенстве (C-B)ⁿ-(C-A)ⁿ=(A-B)R, где
3°) числа A-B и R взаимно простые (поскольку числа C-B и C-A взаимно простые).

Используем решение следующего линейного диофантова уравнения: nx-py=1 (где x нечетно).

Число (C-B)^{nx}-(C-A)^{nx} делится на m.
Но (C-B)^{nx}-(C-A)^{nx}=(C-B)^{py+1}-(C-A)^{py+1}=
=(C-B)((aⁿ)^p)^y-(C-A)((bⁿ)^p)^y, где, согласно малой теореме Ферма, числа (aⁿ)^p и (bⁿ)^p – следовательно и ((aⁿ)^p)^y и ((bⁿ)^p)^y – оканчиваются (в базе m) на цифру 1. Следовательно, число A-B делится на m, что противоречит 3°.

25 марта 2010

Добавлено (27.03.2010, 18:41)
---------------------------------------------
Вместо перекура

Болельщикам элементарного доказательства ВТФ и ферматистам
(Для ревнителей формалистики: это не доказательство ВТФ)

Подведу итог на текущий момент.

Факт невозможности найти элементарное доказательство ВТФ убедительно свидетельствует о логической замкнутости всего известного «элементарного» математического аппарата. Следовательно, доказательство следует искать ЗА пределами известного математического аппарата – с использованием инструментов, по каким-то причинам выпавших из поля зрения математической науки. И мне кажется, что этот инструмент нашел: это числа со степенными окончаниями и их СВОЙСТВА – условно назовем их х-числами.
Специфика х-чисел состоит в их двойственности: с одной стороны, они ведут себя как степени ЦЕЛЫХ чисел (например, подпадают под действие малой теоремы Ферма), с другой стороны, они являются степенями НЕЦЕЛЫХ (а точнее – иррациональных) чисел. По этой причине исследователи, работавшие с х-числами не могли переходить из пространства логики первых свойств в пространство логики вторых свойств.
Скорее всего, П.Ферма вышел на х-числа через вопрос: а в каких случаях не только однозначные, но и многозначные окончания (n-1)-степеней будут равны 1? При чтении «Арифметики» Диофанта нашелся и главный инструмент доказательства многих теорем – простая формула решения линейных диофантовых уравнений. Так появилась теория счисления х-чисел.
Ну а доказательство ВТФ стало совершенно очевидным и укладывающимся в несколько строк. Это доказательство с одной преднамеренно оставленной ошибкой было приведено на этой ветке 25 марта (сразу после того, как я увидел дуализм х-чисел). На самом деле в доказательстве содержалось два неверных места. Одно из них я исправляю ниже:
вместо числа (C-B)^nx-(C-A)^nx следует взять число
(C-B)^nx-A^nx [и тогда делитель m является делителем числа R в
(C-B)^nx-A^nx=(C-A-B)R].
Противоречие в окончательном виде выглядит так: число a-a’ (где a и a’ взяты из C-B=aⁿ и A=a’ⁿ) делится нацело(!) на m.

Но ведь число a’ НЕЦЕЛОЕ!

Конечно, для полного доказательства требуется оформить еще множество лемм. Но заданные реперы позволяют подготовленному специалисту легко восстановить недостающие звенья.

Добавлено (07.04.2010, 17:44)
---------------------------------------------
Для любителей математики, владеющих общей алгебраической теорией ВТФ.

Теорема 5

Если в простой базе n>2 2-значное окончание s-значного числа A является 2-значным окончанием n-й степени, не кратной n, то число A представимо в виде:
A=aⁿ-Pn^w, где w больше наперед заданного числа v, а w-значное окончание числа aⁿ равно A.

Теорема 5a (обобщенная)

Если в простой базе n>2 t-значное окончание s-значного числа A является t-значным окончанием n^t-1-й степени, не кратной n, то число A представимо в виде:
A=a^t-1-Pn^w, где v больше наперед заданного числа, а w-значное окончание числа a^t-1 равно A.

Справедливость этих впечатляющих теорем следует из простейшего факта: k-я цифра (от конца) в числе a и (k+1)-я цифра в числе aⁿ (k>1) взаимнооднозначно определяют значения друг друга (что следует из бинома Ньютона и малой теоремы Ферма в простой базе n>2).

Эти две теоремы позволяют предложить простейшее доказательство ВТФ.

Действительно, из равенства
1°) Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ (A, B, C взаимно простые и простое n>2) следует, что 2-значные окончания чисел A, B, C являются 2-значными окончаниями n-х степеней, не кратных n (при ABC не кратном n), и потому при n^w+1>Cⁿ представимы в виде:

2°) A=a^{n^2}-Pn^w, B=b^{n^2}-Qn^w, C=c^{n^2}-Rn^w.

Подставим эти значения в 1°) и после раскрытия биномов Ньютона мы на n^w-значных окончаниях чисел получаем вторичное равенство:
3°) a^{n^2}+b^{n^2}=c^{n^2}.

Вопрос: сколько цифр в числах a, b, c?

Добавлено (21.04.2010, 01:12)
---------------------------------------------
Найдена интересная конструкция краткого доказательства ВТФ в базе m=(q^n(n-1)-1)/(qⁿ-1), где простое число q > C^n. Публикация готовится.

Добавлено (27.04.2010, 00:09)
---------------------------------------------
Сегодняшняя ситуация

1. Доказательства нет.

2. Очередная идея:

Из равенства Ферма (если AB не делится на n) следует интересное диофантово уравнение:

Cⁿ⁺¹-Aⁿ⁺¹-Bⁿ⁺¹=Xⁿ+Yⁿ.

(Это уравнение возникает [вычисления опускаются] из равенства: Aⁿ/(C-B)+Bⁿ/(C-A)=pⁿ+qⁿ. Напомню: C-B=aⁿ, C-A=bⁿ, A^n=aⁿpⁿ, Bⁿ=bⁿqⁿ, n простое.)

Иная запись уравнения
C^{n+1}-A^{n+1}-B^{n+1}=Xⁿ+Yⁿ:

D²-E²-F²=Xⁿ+Yⁿ.