Добавлено (20.02.2010, 14:04)
---------------------------------------------
Кажется, противоречие легко устраняется. Еще не вечер...

Добавлено (21.02.2010, 00:20)
---------------------------------------------

Для любого рационального h и заданного целого A+B [=Const], где A не равно B, существует такое t, что
(A+t)ⁿ+(B-t)ⁿ=(A+B)R=h.

И теперь нужно показать, что при заданных трех целых числах (C-B), (C-A), (A+B)
существуют такие рациональные P, Q, R (хотя бы в виде простых дробей), что
(C-B)P+(C-A)Q=nⁿR [или даже (C-B)P+(C-A)Q=nR].

Добавлено (21.02.2010, 21:40)
---------------------------------------------
Интересный момент в свете последней идеи – равенство

(C-B)P-(C-A)Q-(A-B)T=0, или Aⁿ=Bⁿ+D^n

[откуда D^n=Aⁿ-Bⁿ=(A-B)S, U*=B+D-A],

Добавлено (24.02.2010, 01:35)
---------------------------------------------
Доказательство Великой теоремы Ферма (проект)

Допустим, что для взаимнопростых натуральных A, B, C и простого n>2
1°) Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ, откуда
2°) Aⁿ-Bⁿ=Cⁿ-2Bⁿ=D.

3°) Известно, что число R в равенстве Aⁿ-Bⁿ=(A-B)R имеет простой делитель m вида m=pn+1. Покажем, однако, что число D=C^n-2B^n не делится на m.

Согласно малой теореме Ферма, число
4°) E=C^pn-2^pnB^pn (как и число D) делится на простое m.

Однако числа D и E есть взаимнопростые относительно m. Покажем это.

………………..

(Доказательство основано на формуле линейного диофантового уравнения, но оно еще не завершено.)

Добавлено (27.02.2010, 18:18)
---------------------------------------------
Чистое доказательство ВТФ. Частный случай.
Пусть для взаимнопростых A, B, C (для определенности AB(A-B) не кратно n) и простого n>2
1°) Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ.

Известны следующие свойства равенства Ферма:
2°) C-B=aⁿ=p; C-A=bⁿ=q;
3°) p^n-q^n=(p-q)R, где каждое простое основание m числа R имеет вид m=kn+1.

Докажем ВТФ для k не кратного n.

4°) Согласно малой теореме Ферма число a^kn-b^kn, или p^k-q^k, или (p-q)T (так же, как и число pⁿ-qⁿ=(p-q)R) содержит делитель m.

Но, как известно (и что легко показать с помощью линейного диофантова уравнения kx-ny=1), если p и q взаимнопростые, p-q не кратно n, k и n взаимнопростые, то числа T и R взаимнопростые, что противоречит 4°.

***

Таким образом, для завершения доказательства ВТФ остается показать, что случай, когда k делится на n, тоже противоречив.

Добавлено (01.03.2010, 00:23)
---------------------------------------------
С вероятностью 99% в условиях теоремы k делится на n. Если эта гипотеза верна (не исключено, что она и доказана), то первый случай не имеет никакой пользы.

По-видимому, П.Ферма доказал также и более сильную теорему:
Если t-значные окончания чисел A и B являются t-значными окончаниями некоторых чисел a^n и b^n, то t-значное окончание КАЖДОГО простого делителя числа R в равенстве Aⁿ+Bⁿ=(A+B)R равно 1.
Например: (***9+***8)(9²-72+8²)=73=***8*9+1.

Если эта теорема верна, то ВТФ доказывается от силы в десять строк:
Если число A+B-C делится на n^t, то оно «автоматически» делится и на n^t+1. И так до бесконечности.

Но самое важное: указанные две теоремы порождают большую НОВУЮ область в теории чисел.

=======

Итак, S-гипотеза гласит:

В равенстве Aⁿ+Bⁿ=(A+B)R, где n простое, натуральные A и B взаимнопростые и их k-значные окончания являются k-значными окончаниями некоторых чисел a^n и b^n, k-значное окончание каждого простого делителя числа R (за исключением n) равно 1.

S-гипотеза интересна тем, что на ее формулировку официальная математика за 350 лет не вышла и, по-видимому, не могла выйти в принципе. Пока неизвестно, удалось ли Пьеру Ферма найти ее строгое доказательство или же он удовлетворился частными числовыми примерами и общими соображениями. Ответ на этот вопрос станет очевидным, если удастся найти простое доказательство S-гипотезы.

Поначалу мне показалось, что S-гипотеза недоказуема. Но постепенно стали появляться разные инструменты. И исходный, простейший случай очевиден: A=1, B=bⁿ…

ДопустимДопустим, что для взаимнопростых натуральных A, B, C (A>B и AC не кратно n) и простого n>2
1°) Aⁿ+Bⁿ=Cⁿn, где C-A=aⁿ, C-B=bⁿ, откуда
2°) Aⁿ-Bⁿ=(A-B)R=(aⁿ-bⁿ)R, где, как легко видеть, числа A-B и R взаимнопростые и, согласно S-гипотезе-1 (которая в данном конкретном случае имеет простое доказательство), каждый простой делитель m числа R имеет вид
3°) m=pn²+1.

Точно так же, и каждый простой делитель m числа T в числе (aⁿ)ⁿ+(bⁿ)ⁿ=(aⁿ+bⁿ)T тоже имеет вид m=pn²+1.

Вопрос: а можно ли показать, что и каждый простой делитель m числа W в числе (aⁿ+n²)ⁿ+(bⁿn+n²)ⁿ=(aⁿ+bⁿ+2nⁿ)W тоже имеет вид m=pn²+1?

Добавлено (10.03.2010, 00:55)
---------------------------------------------
Доказательство Великой теоремы Ферма (подход)

Допустим, что для взаимнопростых натуральных A, B, C (для определенности A>B и AB(A-B) не кратно n) и простого n>2
1°) Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ [=(A+B)R], где, как известно,
2°) числа A+B, A-B, R (без возможного делителя n) и T в равенстве Aⁿ-Bⁿ=(A-B)T являются взаимнопростыми;
3°) C-B=aⁿ, C-A=bⁿ; откуда
4°) aⁿ-bⁿ=A-B;
5°) каждый простой делитель m числа R (без делителя n) имеет вид m=pn+1.

Доказательство ВТФ (начало)

Допустим, что четное число p в формуле простого числа m=pn+1 не кратно n.
Тогда, согласно малой теореме Ферма, число
6°) a^m-1-b^m-1, или (см. 3°) A^p-B^p – также, как и число Aⁿ+Bⁿ – делится на m.

Обзначив числа A², B² и p/2 соответственно через D, E и q, мы видим, что числа
7°) D^q-E^q и Dⁿ-Eⁿ делятся на m.

Но так числа q и n взаимнопростые, то, согласно Лемме (ее доказательство трижды приводилось на форуме dxdy), число m является и делителем числа D-E, что противоречит 2°.

Таким образом, каждый простой делитель (исключая n) числа R имеет вид: m=pn²+1.

Вывод: если ABC не кратно n, то каждый «радикал» типа R для каждого из трех чисел (Aⁿ, Bⁿ, Cⁿ) оканчивается (в базе n) на 001, а число A+B-C кратно n³.
Цель: показать, что A+B-C кратно n⁴ и т.д. А если C кратно n, то показать, что каждый простой делитель (исключая n) числа R имеет вид: m=pn^k+1 (k=3, 4, …).

Продолжение следует.

Добавлено (10.03.2010, 18:48)
---------------------------------------------
Спасительная ошибка

Ошибка в п.6° в последнем проекте позволила найти заключительный ход в

Доказательстве Великой теоремы Ферма

Итак,
Допустим, что для взаимнопростых натуральных A, B, C (для определенности A>B и AB(A-B) не кратно n) и простого n>2
1°) Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ,

где, как известно,
2°) Aⁿ-Bⁿ=(A-B)R;
3°) числа C-B, C-A, A-B и R являются взаимнопростыми;
4°) C-B=aⁿ, C-A=bⁿ; откуда
5°) aⁿ-bⁿ=A-B;
6°) каждый простой делитель m числа R имеет вид m=pn+1.

Доказательство ВТФ

Возьмем какой-либо простой делитель m числа R. Тогда, согласно малой теореме Ферма, числа
7°) (C-B)^pn-(C-A)^pn и a^pn-b^pn, или (C-B)^pn-1-(C-A)^pn-1, делятся на m.

Но так числа в парах (C-B, C-A) и (pn, pn-1) взаимнопростые, то, согласно Лемме (ее доказательство трижды приводилось на форуме dxdy), число m является делителем числа A-B, что противоречит 3°.

Не понял почему:

Добавлено (11.03.2010, 18:44)
---------------------------------------------
Доказательство Великой теоремы Ферма (завершающий текст)

Допустим, что для взаимнопростых натуральных A, B, C (для определенности A>B и AB(A-B) не кратно n) и простого n>2
1°) Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ,
где, как известно,
2°) Aⁿ-Bⁿ=(A-B)R;
3°) числа C-B, C-A, C, A-B и R являются взаимнопростыми;
4°) C-B=aⁿ, C-A=bⁿ; откуда
5°) aⁿ-bⁿ=A-B;
6°) каждый простой делитель m числа R имеет вид m=pn+1.

Доказательство ВТФ

Возьмем какой-либо простой делитель m числа R. Тогда числа A^n-B^n и, следовательно,
7°) A^n(p-1)-B^n(p-1) и, согласно малой теореме Ферма,
8°) a^np-b^np, или (C-B)^n(p-1)-(C-A)^n(p-1)
9°) делятся на m.

Но так число C является взаимнопростым с числом (A-B)R, то согласно Лемме (см. Приложение), числа 7° и 8° являются взимнопростыми, что противоречит 9°.

Случай, когда CB(C+B) не кратно n, доказывается аналогично. ВТФ доказана.

***

Приложение

Лемма

Если число C является взаимнопростым с числом Aⁿ-Bⁿ, где n>2, то, числа A^n-B^n и (C-A)ⁿ-(C-B)ⁿ являются взаимнопростыми.

К сожалению, автор не располагает доказательством Леммы. Однако не исключено, что П.Ферма нашел ее доказательство в «Арифметике» Диофанта. На этом исследование собственно Великой теоремы (не считая Леммы) прекращается.

Если в простой базе n двузначное окончание числа a есть двузначное окончание какого-либо числа в степени n, то существует такое число Aⁿ, которое оканчивается на a. При этом Aⁿ=adⁿ.

Простейшее доказательство леммы основано на методе поцифрового преобразования числа a с помощью множителей вида (gnⁿ+1) ⁿ, о котором я много рассказывал на сайте dxdy. (При необходимости расскажу еще раз.)