+++

Лемма и инструментарий

Лемма

Если число C является взаимнопростым с числом Aⁿ-Bⁿ=(A-B)R, где n>2, то числа R и T в равенстве (C-A) ⁿ-(C-B) ⁿ=(A-B)T являются взаимнопростыми.

Инструментарий

1. Лемма 1.
Если число C содержит какой-либо делитель m числа R, то число T делится на m.
Действительно, в этом случае число T представимо в виде Dm+R.

2. Простейший случай Леммы:
Числа R в равенстве Aⁿ-Bⁿ=(A-B)R, где n>2, и T в равенстве (A-1)ⁿ-(B-1)ⁿ =(A-B)T являются взаимнопростыми (A>B>1, A и B взаимнопростые).

3. Самый простой путь доказательства - спросить у специалистов в этой узкой теме (хотя бы на форуме dxdy, но у меня нет туда доступа).

=========

Если натуральные числа A, B и A-B взаимнопростые и не кратны простому n>2 и t-значное окончание числа R в равенстве Aⁿ-Bⁿ=(A-B)R в базе n равно 1,
то и t-значное окончание каждого простого делителя m числа R также равно 1.

Доказательство состоит из нескольких теорем.

==============

=============

И просьба: не оставляйте ни одного неясного, непонятного места.

Добавлено (18.03.2010, 22:43)
---------------------------------------------

================

Даю полные доказательства лемм и теорем:

Теорема 1.

Если натуральные числа A, B и A-B взаимнопростые и не кратны простому n>2, то
последняя цифра каждого простого делителя m числа R в равенстве Aⁿ-Bⁿ=(A-B)R в базе n равна 1.

Доказательство.

Известно, что в условиях Теоремы число R не делится на n и числа A-B и R являются взимнопростыми.

Покажем теперь, что и простое число q вида q=p+1, где p не делится на n, является делителем числа Aⁿ-Bⁿ и не является делителем числа R.

Согласно малой теореме Ферма, число A^p-B^p делится на q.

Используем решение следующего линейного диофантова уравнения: nx-py=1.

Число A^nx-B^nx делится (заметим, в ЛЮБОЙ базе!) на m. Но A^nx-B^nx= A^py+1-B^py+1 =
=A(A^p)^y-B(B^p)^y, где, согласно малой теореме Ферма, числа A^p и B^p – следовательно и (A^p)^y и (B^p)^y – оканчиваются в базе m на цифру 1. Следовательно, число A-B делится, а число R не делится на q.

Добавлено (21.03.2010, 01:43)
---------------------------------------------
Теорема 2.

Если натуральные числа A, B и A-B взаимнопростые и не кратны простому n>2 и
A=aⁿ и B=bⁿ, то
двузначное окончание каждого простого делителя m числа R в равенстве Aⁿ-Bⁿ=(A-B)R в базе n равна 1, или 01.

Доказательство.

Известно, что в условиях Теоремы число R не делится на n и числа A-B и R являются взимно простыми.

Покажем, что простое число q вида q=pn+1, где p не делится на n и q является делителем числа Aⁿ-Bⁿ, не является делителем числа R.

Согласно малой теореме Ферма, число (Aⁿ)^p-(Bⁿ)^p делится на q.

Используем решение следующего линейного диофантова уравнения: nx-py=1.

Число a^nnx-b^nnx, или A^nx-B^nx делится на m (заметим, в ЛЮБОЙ базе!). Но A^nx-B^nx=A^py+1-B^py+1=
=A(A^p)^y-B(B^p)^y, где, согласно малой теореме Ферма, числа A^p и B^p – следовательно и (A^p)^y и (B^p)^y – оканчиваются (в базе m) на цифру 1. Следовательно, число A-B делится, а число R, с которым число A-B не имеет общих деителей, не делится на m.

Если в простой базе n>2 двузначное окончание числа A является 2-значным окончанием n-й степени, не кратной n, то на него распространяется действие малой теоремы Ферма.

Действительно, число A можно представить в виде A=a^{n^2}+pn³, и теперь число (aⁿ}+pn^2)[sup]n-1=(a^n(n-1) +Pn², где первое слагаемое оканчивается – согласно малой теореме Ферма – на цифру 1, а второе на два нуля. Что и требовалось доказать.

(Не знаю, известна ли это простая теорема.)

Теорема 4 (обобщенная)

Если в простой базе n>2 t-значное окончание числа A является t-значным окончанием n^t-й степени, не кратной n, то на него распространяется действие малой теоремы Ферма.

Действительно, число A можно представить в виде A=a^{n^t}+pn^t+1, и теперь число (a^{n^t}+pn^t+1)^n-1n-1=(a^n(n-1)^{n(n-1)}+Pn^t+1, где t-значное окончание первого слагаемого – согласно малой теореме Ферма – равно 1, а второго – нулю. Что и требовалось доказать. (Расчеты требуют проверки.)