Если натуральные числа A, B и A-B взаимнопростые и не кратны простому n>2, то
последняя цифра каждого простого делителя m числа R в равенстве An-Bn=(A-B)R в базе n равна 1.

Доказательство.

Известно, что в условиях Теоремы число R не делится на n и числа A-B и R являются взимнопростыми.

Покажем теперь, что и простое число q вида q=p+1, где p не делится на n, является делителем числа Aⁿ-Bⁿ и не является делителем числа R.

Согласно малой теореме Ферма, число A^p-B^p делится на q.

Используем решение следующего линейного диофантова уравнения: nx-py=1.

Число A^nx-B^nx делится (заметим, в ЛЮБОЙ базе!) на m. Но A^nx-B^nx= A^py+1-B^py+1 =
=A(A^p)^y-B(B^p)^y, где, согласно малой теореме Ферма, числа A^p и B^p – следовательно и (A^p)^y и (B^p)^y – оканчиваются в базе m на цифру 1. Следовательно, число A-B делится, а число R не делится на q.

Таким образом, числа вида q=p+1, где p не делится на n, не являются делителями числа R. Что и требовалось доказать.