Введение.

    Хорошо известно как важны полиномы в современной технике (это и описание передаточной функции в системе автоматического управления, и конкретные описания физических явлений. Например, поле диполя Герца описывается уравнением 3-ей степени, уравнение Ван-Дер-Ваальса, которое хорошо описывает физику перехода вещества из одного агрегатного состояния в другое, также представляет собой уравнение 3-ей степени. Часто решение ДУ ищется в виде ряда Тейлора,  и, наконец, часто приходиться искать выражение, описывающее физическое явление, в виде полинома ). Не возникает, вопроса для чего мы изучаем решение уравнения второй степени – слишком часто они встречаются и описание решения простое, что к стати позволяет его (решение) использовать в общей теории. Но возникает вопрос для чего искать точное выражение корней полиномов более высокой степени? – слишком сложны эти формулы и потому не удобны.

    Как было сказано выше, с полиномами приходится иметь дело. Следовательно, т.к. задача возникает часто,  логично предположить, что должен быть создан сопроцессор, который бы находил корни полиномов максимально быстро. Если мы попытаемся найти корни полинома 4-ой степени методом деления отрезка пополам (перенос разряда), то нам потребуется произвести порядка 10 операций умножения за один цикл, мы можем не учитывать другие операции, т.к. они занимают гораздо меньше времени, чем умножение. Для того чтобы добиться нужной точности потребуется произвести несколько ( иногда несколько десятков) циклов. Можно увеличить разрядность сопроцессора, можно распараллелить некоторые операции, но найти за один внутренний такт корни, наперёд неизвестного полинома,  практически невозможно. С другой стороны задача извлечения корней 3-ей и 4-ой степени встречается гораздо чаще, а, кроме того, реализовать аппаратно нахождение этих корней за один такт вполне возможно (посредством заранее известного разложения в ряд Тейлора, например). Далее процедура нахождения корня полинома  сведётся к нескольким тактам извлечения корней. По моим прикидкам такая реализация должна быть где-то на порядок быстрее, чем предыдущая.

Пример. Возьмём уравнение 4-ой степени.

Первый способ. Пусть его коэффициенты больше единицы по модулю, тогда начальный интервал, где лежат корни, будет порядка 10. Даже если вычисления выполняются аппаратно, нельзя перейти к следующему шагу цикла, пока не закончен предыдущий. Т.е. если требуется найти корень с точностью до 15 знаков после запятой, то потребуется порядка 50 тактов.

Второй способ. Решение Уравнения выражается через корни 2-ой, 3-ей и 4-ой степени. Решение допускает распараллеливание процесса. Поэтому процесс займёт около 4-х тактов.

Понятно, что это всё условно, но всё же, видимо, верно.

Следует также заметить, что подобные методы позволяют искать также и комплексные решения. Чего не скажешь об обычных подходах.

ЧастьI.(Немного истории. См. [1]).

    Известно, что квадратное уравнение умели решать ещё математики Древнего Египта. Куда сложнее оказалось с решением уравнения третьей степени. В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своём знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И всё же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден. Метод решения уравнения четвёртой степени был найден учеником Джероламо Кардано, Лудовико Феррари. Метод, который он нашёл так и называется – метод Феррари.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Под ред. Аксёнова М.Д. - М.: Аванта+, 2002. – 688 с.: ил.

2.Ван дер Варден Б.Л. Алгебра – СПб.: Лань, 2004. – 624с.

3. Бронштейн И.Н. Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов – М.: Наука, 1980. – 976с.