Четверг, 18.12.2025, 06:44
Приветствую Вас Гость | RSS
[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
Форум » Задачи для размышления » Зарубежные математические олимпиады » ГДР 74
ГДР 74
rznuslДата: Воскресенье, 10.05.2009, 07:46 | Сообщение # 1
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
Решить уравнение
(x+2)4-x4=y3
в целых числах.
 
АрхимедДата: Вторник, 12.05.2009, 14:41 | Сообщение # 2
Лейтенант
Группа: Пользователи
Сообщений: 66
Репутация: 1
Статус: Offline
Интересная задачка. Попробую решить.
1. Выражение слева равно
2*(2x+2)*((x+2)2+x2)=8*(x+1)*(x2+2x+2)
2. Значит y3 должно делиться на 8, т.е. y делится на два или y=2z.
Тогда (x+1)*(x2+2x+2)=z3
3. Проанализируем последнее выражение.
(x+1)*(x2+2x+2)=(x+1)*((x+1)2+1)=z3
Из чего следует, что (x+1) - это куб какого-то числа.
Пусть (x+1)=p3,
тогда p9+p3=z3,
где z=p*r.
Следовательно
p6+1=r3
Из теоремы Ферма следует, что последнее выражение может иметь лишь тривиальное решение:
p=0,
r=1
Ответ: y=0, х=-1.
 
rznuslДата: Вторник, 12.05.2009, 15:28 | Сообщение # 3
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
Вроде всё верно.
Однако в книге приведено другое решение, причём теорема Ферма там не используется.
 
rznuslДата: Воскресенье, 17.05.2009, 10:08 | Сообщение # 4
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
Даю слежующую задачу.
СФРЮ 81.
Доказать, что для любых значений a,b - целые числа, удовлетворяющих неравенствам
5a7b0, система:

x+2y+3z+7u=a
y+2z+5u=b

в целых неотрицательных числах имеет решение.

 
Форум » Задачи для размышления » Зарубежные математические олимпиады » ГДР 74
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск: