Суббота, 29.01.2022, 05:27
Приветствую Вас Гость | RSS
[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
Форум » Задачи для размышления » Зарубежные математические олимпиады » ЧССР 79
ЧССР 79
rznuslДата: Воскресенье, 10.05.2009, 07:18 | Сообщение # 1
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
Найти все натуральные числа n>2, не превосходящие числа 10000000 и обладающие следующим свойством: любое число m, взаимно простое с n и удовлетворяющее неравенствам 1<m<n, является простым.
 
АрхимедДата: Пятница, 05.06.2009, 19:05 | Сообщение # 2
Лейтенант
Группа: Пользователи
Сообщений: 66
Репутация: 1
Статус: Offline
1. Пусть n не делится на 2, тогда, если n>22=4, то число m=4 ,взаимо просто с n, но оно составное. Значит n1=3. Другие n будут чётными.
2. Пусть n делится на 2, но не делится на 3, то n<32, то это либо 4, либо 8 - оба числа удовлетворяют условию. Остальные числа n будут делится и на 2 и на 3, т.е. на 6.
3. Следующим простым числом является число 5. Найдём все числа n<25, делящихся на 6. Это 6,12,18,24. Остальные должны будут делиться на 30
4. Селующим простым числом будет 7. Мы ищем все такие числа n, что n делится на 30, но меньше 49 - это всего одно число, n=30. Все остальные числа n будут делиться на 210.
5. Далее мы должны поочерёдно исследовать все простые числа. Однако, т.к. простые числа следуют достаточно часто, то все они будут в квадрате давать меньшее число, чем множитель, на который должно делиться n, т.е. других чисел нет.
Ответ:3.4.6.8,12,18,24,30.
Оценим, сколько нам потребуется проверить простых чисел.
2*3*5*7*11*13*17*19*23>10 000 000.
Последнее число 19, т.е. можно убедится непосредственно.


Сообщение отредактировал Архимед - Пятница, 05.06.2009, 19:55
 
rznuslДата: Понедельник, 08.06.2009, 20:27 | Сообщение # 3
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
Прикрепления: 1039173.jpg(41.4 Kb)
 
rznuslДата: Понедельник, 08.06.2009, 20:49 | Сообщение # 4
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
ВНР 77
Доказать, что для любого простого числа p>5 уравнение
x4+4x=p
в целых числах не имеет решений.
 
ФермаДата: Вторник, 23.06.2009, 23:42 | Сообщение # 5
Лейтенант
Группа: Пользователи
Сообщений: 49
Репутация: 0
Статус: Offline
1) Т.к. p простое число, х не может быть чётным.
2) Согласно малой теореме Ферма x^4=1 mod 5 = 1+5k, где k - целое число.
3) 4=5-1 => 4^x=(5-1)^x=5f-1, где f - целое число.
Следовательно x^4+4^x=(k+f)*5=p, т.е. p делится на 5, что невозможно.
 
Форум » Задачи для размышления » Зарубежные математические олимпиады » ЧССР 79
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск: