В продолжение нашей темы о Луне, рассмотрим задачу заново.

   Считаем, что Луна движется по круговой орбите. Сама же Луна пусть представляет собой шар. 

   Уравнение для нижней части Луны:

– масса нижней части Луны,

– масса верхней части Луны,

– масса Земли,

– расстояние от нижней (ближней к Земле точки) до цента тяжести нижней части Луны,

– расстояние от нижней (ближней к Земле точки) до цента тяжести верхней части Луны,

R – расстояние от центра Земли до ближайшей точки Луны.

w – круговая скорость облёта Луной Земли.

Т.к. Размеры Луны сравнительно невелики, то центры тяжести  и  будем искать как центры масс, т.е.:

, где

- масса элементарного круга в районе сечения.

Если считать, сто плотность однородна (положим равной единице), то получаем:

,

где  – радиус сечения (L – радиус Луны), или

, 

Для нижней части получаем:

, где - высота сечения,

Для верхней части мы можем разбить решение следующим образом:

,

или

, где

- объём Луны.

   На самом деле надо искать не центр масс, а центры тяжести – они будут находиться несколько ближе друг к другу. Должно соблюдаться соотношение для нижней части:

 ,

для верхней части должно соблюдаться соответствующее уравнение.

   Но и этого недостаточно, т.к. надо всё рассматривать в поле действия притяжения к Земле. Иначе говоря, эти две точки будут чуть ближе к Земле. Мы не будем составлять это уравнение, т.к. оно более длинное, а сложности в его выводе никаких нет.

    Далее аналогичные уравнения можно получить для равновесия верхней части:

  Далее.

   Мы рассматривали однородную по плотности Луну. При этом мы можем вычислить минимальную возможную её плотность – такую, чтобы наши неравенства всегда выполнялись. Относительно плотности мы имеем два линейных неравенства:

   Видим, что система всегда имеет решения – надо, только взять достаточно большую плотность. Однако существует минимальная плотность, когда тело на орбите разорвёт.

    В реальности Луна может не иметь однородную плотность. И если мы хотим узнать положения центров тяжести половинок и их массу, то предыдущие вычисления нам ничего не дадут.

   Можно ли узнать эти данные при неравномерном распределении плотности?

   Теоретически это возможно. Для этого надо расположить маятник на Луне. Какие силы на него будут действовать?

     – сила притяжения к Земле – она известна.

     - центробежная сила – она известна.

     - силы притяжения половинок Луны или Луны в целом. Эти данные нам не известны. Но если бы мы знали массу половинок, то по маятнику мы могли бы определить положение центров их тяжести, и наоборот.

   Оказывается, что два маятника достаточно для этих замеров. Мы можем так же узнать массу всей Луны, расположив маятник в наиболее удалённой точке Луны от Земли. Теоретически мы могли бы воспользоваться и спутником.

   Далее.

   Имея эти данные, мы можем вычислить среднюю плотность кругов в сечение Луны.

   Более того, мы можем проводить сечения под любым углом, и, следовательно, получить плотность любого вырезанного круга. Таким образом, мы можем, скажем, определить плотность вещества на поверхности Луны в любой точке с достаточной точностью, взяв определённую толщину слоя. Далее, мы можем убрать этот слой из рассмотрения, и продвинутся дальше. И так слой за слоем.

  P.S.

  Я хотел проверить свои выкладки, но оказалось, что с теорией я ошибался. Поэтому дальше мы разберём другие вопросы, связанные с этой теорией.

   Замечание. Скорее всего, есть гравитационная карта Луны и Земли. Так что, если у кого есть более удовлетворительная теория, он может всё рассчитать.

rznusl©2011