А в чём проблема?
Полином трудно составить? Вот смотрите.
У вас есть точки и значения функции в этих точках - соответственно можно составить полином P(x).
Далее его надо сделать возрастающим.
Допустим у вас точки ai
Вы составляете дополнительный полином
Ясно, что полином P(x)+R(x) в точках ai , будет давать нужные цифры.
Добьёмся, чтобы полином R(x) всюду возрастал.
Для этого найдём функцию D(x) с аналогичными свойствами.
Для нахождения функции D(x) можно воспользоваться тем обстоятельством, что если D(x)=R(x)*F(x), то функция F(x) может быть любой.
Положим
D(x)=eT(x)R(x)
Чтобы производна от функции D(x) была положительной, требуется выполнение неравенства:
T(x)' R(x)+R(x)'>0
Возьмём
Нужная функция T(x), как известно, определяется.
Допустим, что мы добились того, что функция D(x) всюду возрастает, т.е. её производная больше нуля и её минимальное значение на указанном промежутке равно M1.
Возьмём теперь производную от функции P(x). Допустим, что она не всюду положительна, но тогда на указанном промежутке, очевидно, она достигает своего минимума M2.
Очевидно существует такое число E>0, что E*M1>|M2|.
Функция P(x)+E*D(x) будет монотонно возрастать, она будет гладкой, в нужных точках будет приниматиь нужные значения.