| rznusl | Дата: Воскресенье, 10.05.2009, 07:39 | Сообщение # 1 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Решить уравнение
x6+3x3+1=y4
в целых числах.
|
| |
| |
| Архимед | Дата: Воскресенье, 17.05.2009, 20:25 | Сообщение # 2 |
|
Лейтенант
Группа: Пользователи
Сообщений: 66
Репутация: 1
Статус: Offline
| Здравствуйте.
Предлагаю следующий вариант решания данной задачи:
(x3+1)2+x3=y4
или
x3=(y2-x3-1)(y2+x3+1)
Проанализируем данное выражение.
1. Если выражения (y2-x3-1) и (y2+x3+1) имеют общий множитель n, то их разность и x3 делятся на n.
Т.е. 2(x3+1) и x3 делятся на n.
Это возможно лишь в случаях когда n=2, либо n=1,
Если n=2, то y2 делится на 2. Однако это невозможно - это сразу видно из исходного выражения, т.к. (x6+3x3) - число чётное.
Если n=1, то выражения (y2-x3-1) и (y2+x3+1) не имеют общего множителя.
В этом случае
x=p*r, где p и r не имеют общего множителя и
(y2-x3-1)=p3
(y2+x3+1)=r3
Вычтем из последнего выражения предыдущее:
2((rp)3+1)=r3-p3
2. Проанализируем последнее выражение
p3(2r3+1)=r3-2
Видим, что если |r|>1, то равенство не возможно.
3.
r=-1, тогда -p3=-3 - нет решения.
r=1, тогда 2p3=-1 - решения нет.
r=0, то решения опять не будет.
Остаётся проверить не потеряли ли мы корни в процессе решения.
Действительно есть решение x=0, |y|=1.
Ответ: (0,1) (0,-1)
Сообщение отредактировал Архимед - Воскресенье, 17.05.2009, 20:28 |
| |
| |
