Четверг, 28.03.2024, 20:04
Приветствую Вас Гость | RSS
[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
Форум » Задачи для размышления » Зарубежные математические олимпиады » ГДР 73
ГДР 73
rznuslДата: Воскресенье, 10.05.2009, 07:36 | Сообщение # 1
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
Решить уравнение
x(x+1)(x+7)(x+8)=y2
в целых числах.
 
АрхимедДата: Понедельник, 18.05.2009, 14:29 | Сообщение # 2
Лейтенант
Группа: Пользователи
Сообщений: 66
Репутация: 1
Статус: Offline
У Вас здесь уравнение не дописано.
 
rznuslДата: Понедельник, 18.05.2009, 16:58 | Сообщение # 3
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
Да, Вы правы.
Ошибка исправлена.
 
АрхимедДата: Понедельник, 18.05.2009, 19:04 | Сообщение # 4
Лейтенант
Группа: Пользователи
Сообщений: 66
Репутация: 1
Статус: Offline
x(x+1)(x+7)(x+8)=y2
1. Полагаю, что начать надо с анализа левого выражения.
Сделаем замену х+4=z, тогда
(z2-16)(z2-9)=y2

Сделаем ещё одну замену
p=z2
=> (p-16)(p-9)=y2
Если числа (p-16) и (p-9) имеют общий множитель, то их сумма (разность) на него делится.
2. Это может быть число 7. Другого множителя нет.
Итак. Пусть (p-9)=7c, (p-16)=7d, тогда
7с=7d+7
49cd=y2, где c и d не имеют общего множителя.
Значит
с=m2
d=n2
y=nm.
m2=n2+1
(m-n)(m+n)=1
Равенство возможно только, если |m-n|=|m+n|=1
Если (m-n)=1, то (2n+1)=1, т.е. n=0, m=1.
Если (m-n)=-1, то (2m+1)=-1, т.е m=-1, n=0.
Итак.
d=0
c=1
=> y=0 => x=0, x=-1, x=-7, x=-8
3. Если числа (p-16) и (p-9) не имеют общего множителя, то
p-9=t2
p-16=l2
y=tl
l2+7=t2
(t-l)(t+l)=7
число 7 простое, поэтому корни ищутся простым перебором.
Видим, что решения нет.
Ответ: (0,0) (-1,0) (-7,0) (-8,0)


Сообщение отредактировал Архимед - Понедельник, 18.05.2009, 19:25
 
Форум » Задачи для размышления » Зарубежные математические олимпиады » ГДР 73
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск: