x(x+1)(x+7)(x+8)=y2
1. Полагаю, что начать надо с анализа левого выражения.
Сделаем замену х+4=z, тогда
(z2-16)(z2-9)=y2 Сделаем ещё одну замену
p=z2
=> (p-16)(p-9)=y2
Если числа (p-16) и (p-9) имеют общий множитель, то их сумма (разность) на него делится.
2. Это может быть число 7. Другого множителя нет.
Итак. Пусть (p-9)=7c, (p-16)=7d, тогда
7с=7d+7
49cd=y2, где c и d не имеют общего множителя.
Значит
с=m2
d=n2
y=nm.
m2=n2+1
(m-n)(m+n)=1
Равенство возможно только, если |m-n|=|m+n|=1
Если (m-n)=1, то (2n+1)=1, т.е. n=0, m=1.
Если (m-n)=-1, то (2m+1)=-1, т.е m=-1, n=0.
Итак.
d=0
c=1
=> y=0 => x=0, x=-1, x=-7, x=-8
3. Если числа (p-16) и (p-9) не имеют общего множителя, то
p-9=t2
p-16=l2
y=tl
l2+7=t2
(t-l)(t+l)=7
число 7 простое, поэтому корни ищутся простым перебором.
Видим, что решения нет.
Ответ: (0,0) (-1,0) (-7,0) (-8,0)