| rznusl | Дата: Воскресенье, 10.05.2009, 07:24 | Сообщение # 1 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Для заданной пары натуральных чисел m<n определить, любое ли множество из n последовательных целых чисел содержит два различныхчисла, произведение которых делится на mn.
|
| |
| |
| Ферма | Дата: Понедельник, 01.06.2009, 16:55 | Сообщение # 2 |
|
Лейтенант
Группа: Пользователи
Сообщений: 49
Репутация: 0
Статус: Offline
| Пусть х - число в n-последовательности, тогда последним ,будет число х+n-1.
Если мы возьмём остатки от деления этих чисел на n, то все они будут различны (это нетрудно показать, т.к. разница двух чисел из последовательности по абсолютной величине меньше n и больше 1, т.е. если при делении на n образуются равные остатки, то от деления их разницы на n должен быть 0 - это невозможно).
Следовательно, т.к. мы получили последовательность (остатков)из n чисел меньше n, то это последовательность либо от 0 до n-1, т.е. один из остатков равен нулю, а значит одно из чисел делится на n.
Точно также можно доказать, что существует число в последовательности, которое делится на m ( достаточно взять подпоследовательность из m чисел - это возможно, т.к. m<n).
Остаётся показать, что эти два числа различны.
Пусть это не так, тогда mk=nl - одно из чисел в последовательноси. Очевидно, что в этой последовательности нет другого числа, которое делилось бы на n.
Попытаемя определить, есть ли там другое число, которое делилось бы на m.
х+b=nl=mk
x - первый член последовательности.
х+n-1 - последний член последовательности.
Если b>=m или (n-1-b)>=m (или b=<(n-1-m)), то в последовательности найдётся второе число которое делится на m.
Это всегда возможно, если m<=(n-1)/2, действительно тогда либо
b>m>=(n-1)/2, либо
b<n-1-m<=(n-1)/2, т.е.
либо b>=(n-1)/2, либо b<=(n-1)/2.
Если же m>(n-1)/2, то найдётся такая последовательность, что другого числа, которое делилось бы на m в ней нет. Например
х+(n-1)/2=nl=mk, тогда
mk-m<x, т.е. (mk-m) не член последовательности.
mk+m>x+n-1, т.е. опять (mk+m) не член последовательности.
|
| |
| |
| rznusl | Дата: Понедельник, 08.06.2009, 20:29 | Сообщение # 3 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Замечу, что решения похожи, но ответы вообще-то разные - у кого-то ошибка.
Верное решение в книге.
|
| |
| |
| rznusl | Дата: Понедельник, 08.06.2009, 20:51 | Сообщение # 4 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| ГДР 80
Доказать, что уравнение
(2x)2x-1=yz+1
в натуральных чмслах не имеет решений
|
| |
| |
