Пятница, 29.03.2024, 05:38
Приветствую Вас Гость | RSS
[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
Форум » Задачи для размышления » Зарубежные математические олимпиады » НРБ 65
НРБ 65
rznuslДата: Воскресенье, 10.05.2009, 07:07 | Сообщение # 1
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
Доказать, что только одна тройка натуральных чисел, больших единицы, обладает тем свойством, что произведение любых двух их этих чисел, увеличенное на 1, делится на третье.
 
АрхимедДата: Пятница, 05.06.2009, 19:41 | Сообщение # 2
Лейтенант
Группа: Пользователи
Сообщений: 66
Репутация: 1
Статус: Offline
1. Эта тройка 2,3,7.
2. Допустим, что есть и др. такие числа a,b,c, тогда
(ab+1) делится на c,
(ac+1) делится на b,
(bc+1) делится на a.
Следовательно (ab+1)(ac+1)(bc+1) делится на abc, т.е.
(ab+ac+bc+1) делится на abc
Положим 1<a<b<c, тогда (ab+ac+bc+1)<3bc+1<4bc, т.е 1<a<4.
3. Если a=2, то
(2(b+c)+1) делится на bc.
(2(b+c)+1)<5c, т.е. 2<b<5.
Простым перебором находим нужные числа.
4 Если a=3, то аналогично рассуждая, получаем
(3(b+c)+1)<7c, т.е. 3<b<7.
Простым перебором находим нужные числа.

Таким образом убеждаемся, что др. набора нет.

 
rznuslДата: Понедельник, 08.06.2009, 20:25 | Сообщение # 3
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
Прикрепления: 6099038.jpg (33.7 Kb)
 
rznuslДата: Понедельник, 08.06.2009, 20:45 | Сообщение # 4
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
США 76
Решить уравнение
x2+y2+z2=x2y2
в целых числах.
 
Форум » Задачи для размышления » Зарубежные математические олимпиады » НРБ 65
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск: