|
Теняев В.В.
|
|
| rznusl | Дата: Четверг, 27.05.2010, 13:04 | Сообщение # 1 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Название диссертации:
"Двухточечная краевая задача системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом." Сама работа находится здесь Прежде чем начать стоит сказать, что тематика мне, практически, не знакома.
По видимому будет исследоваться система с параметром – с этим мне также сталкиваться не приходилось.
Анализ будет вестись медленнее, т.к. диссертация не большая и, возможно, потребует чтения дополнительной литературы. Я не буду организовывать постраничный вывод, т.к. работа представлена в файле pdf, и она небольшая. Сопутствующие теоремы и понятия:
условие Липшица
неравенство Гронуолла-Беллмана - чувак доказал теорему, но можно её доказать и несколько иначе.
принцип неподвижной точки Шаудера - я думаю, теорему можно усилить.
|
| |
| |
| rznusl | Дата: Четверг, 27.05.2010, 13:07 | Сообщение # 2 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Стр. 1-10.
Даётся историческая справка и постановка задачи.
|
| |
| |
| rznusl | Дата: Среда, 16.06.2010, 13:41 | Сообщение # 3 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Стр. 11-20.
Даётся описание структуры диссертации.
Говорится, что автором написана программа, и, в работе, будет проведён её анализ.
Дальше даются определения.
Вводится вектор μ «мю», зависящий от времени.
Даётся определение оператора T, суть которого сводится к умножению аргумента вектора или матрицы на определённое (постоянное во времени) число. Этот оператор назвали оператором сдвига.
Определяются свойства введённого оператора.
Вводится определение нормы.
На уравнение (1.1) накладывается условие Липшица. Фактически оно ограничивает скорость изменения аргумента от времени.
Даётся постановка двухточечной краевой задачи (стр. 15). Далее рассматривается теорему, суть которой следующая:
1) на правую часть уравнения (1.1) накладываются некоторые ограничения,
2) говорится, что существует решение уравнения (1.1)
Теорема говорит о том, что существует область, где решение будет непрерывным и единственным.
Далее приводится доказательства существования непрерывного решения методом последовательного приближения (строится последовательность, сходящаяся к решению).
Непрерывность решения, как говорится в доказательстве, следует из того, что все члены последовательности являются непрерывными функциями.
(доказательство, вроде, верное).
|
| |
| |
| rznusl | Дата: Воскресенье, 20.06.2010, 12:33 | Сообщение # 4 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Стр. 21-30.
Далее доказывается единственность решения.
Доказательство идёт от противного (достаточно тривиально).
Далее формулируется следствие 1.1 – весьма любопытное.
Формулируется теорема 1.2, которая кажется, почти, очевидной. В доказательстве фигурирует неравенство Гронуолла-Беллмана.
Далее рассматриваются свойства решения. Само решение разбивается на сумму независимых частей.
На стр. 23, видимо, опечатка.
На стр.25, видимо, опечатка.
Согласно теореме 1.4., решение можно представить в виде функции, представленной бесконечным рядом. Члены ряда вычисляются рекуррентно.
Доказательство не проверял. Но суть рекуррентного построения такова:
Строиться функции по структуре похожие на решение, сумма их удовлетворяет решению, но по отдельности они не совпадают с решением.
Получается ряд. Доказывается его равномерная сходимость.
|
| |
| |
| rznusl | Дата: Понедельник, 21.06.2010, 15:28 | Сообщение # 5 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Стр. 31-40.
Теорема 1.5. аналогична теорема 1.4. (правая часть немного другая).
В теореме 1.6. используется понятие формы. По-видимому, это степень аргумента в правой части.
В доказательстве мне не совсем понятны манипуляции с О-большим. По идее, оно обозначает коэффициент, однако не ясно как берётся интеграл.
Теорема 1.7. аналогична теореме 1.6.
В общем, надо разбираться в данном подходе. Свойство матрицы X(t,s) представлены на стр. 23.
Стр. 36 – начинается глава 2.
Теорема 2.1. формулирует достаточное условие существования решения двухточечной краевой задачи.
На стр.38, по-видимому, опечатка.
В доказательстве используется принцип неподвижной точки Шаудера.
Приводится пример.
В теореме 2.2. Она аналогична теореме 2.1.
|
| |
| |
| rznusl | Дата: Среда, 23.06.2010, 12:45 | Сообщение # 6 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Стр. 41-50
На стр. 42 начинается исследование уравнения с нелинейной правой частью.
Даются некоторые предварительные замечания и определения.
Матричное уравнение разбивается на две части.
Вводится нормировка параметра (лямбда). Далее надо везде понимать, что |e|=1, либо он равен нулю.
Трудно разобраться, т.к. остались вопросы по предыдущим теоремам, но, вроде, всё верно.
Дальше опять переходят к одному матричному уравнению (2.8), введя новые обозначения.
Доказательство опирается на принцип Шаудера. Наверное всё верно, но однозначно сказать не могу.
На стр. 44 приводится пример.
Далее рассматривается совокупность всех решений, удовлетворяющих уравнению
[E-X(w,0)]a=0
Дальше система (2.5) упрощается до уравнения (2.9). Т.е. убираются малые члены (они входят в о-малое).
Опять производится нормировка. Буквы те же, но обозначают они другое («расширенный» вектор).
Формулируется лемма 2.1. Доказательство верное.
Теорема 2.4. является по смыслу антиподом лемме 2.1. Т.е. рассматривается ситуация, когда решение существует. В формулировке теоремы 2.4. используется понятие матрицы Якоби.
Далее, после доказательства рассматривается матрица Якоби более низкого порядка.
В общем, там составляется матричное уравнение для матрицы Якоби, аналогичное уравнению (2.10) (используется "раскрытие" о-малого). Далее исследования повторяются те же самые, но применительно к этому уравнению. В частности появляется новая матрица Якоби.
Естественно процесс можно продолжить и далее по аналогии.
|
| |
| |
| rznusl | Дата: Пятница, 25.06.2010, 21:59 | Сообщение # 7 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Стр. 51-60.
Приводится пример.
Дальше рассматривается система (2.15), которая сходна с системой (2.1.). Соответственно формулируются теоремы для этой системы (они аналогичны, см. стр. 46 и далее).
Замечание 2.3. (некоторое дополнение).
Приводится соответствующий пример для уравнения вида (2.15).
На стр.60 начинается глава III (математические модели). В ней будет рассмотрено прикладное применение теории.
|
| |
| |
| rznusl | Дата: Четверг, 08.07.2010, 00:48 | Сообщение # 8 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Стр. 61-70.
На стр. 62, видимо, опечатка. И дальше.
В общем, у меня неясности с рангом матрицы и числом m.
В формулировке теоремы 3.3. неясна структура матрицы – на сколько я понял, она состоит из строк разной размерности.
Доказательство теоремы 3.3 похоже на доказательство теоремы3.2. В доказательстве присутствует новшество по сравнению с предыдущими доказательствами.
Теорема 3.4. формулируется для двухточечной краевой задачи. В формулировке используется понятие матрицы Якоби. Соответственно в доказательстве используется разложение в ряд Тейлора.
Теоремы 3.5, 3.4. являются соответствующим продолжением теорем 3.2, 3.3, по которым у меня остались вопросы.
Структура доказательства теоремы 3.5 схожа со структурой доказательства теоремы 3.4.
Далее приводятся примеры.
|
| |
| |
| rznusl | Дата: Четверг, 15.07.2010, 22:16 | Сообщение # 9 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Стр. 71-80.
Стр. 72 – рассматривается модель в экономике.
Теорема 3.6 рассматривает частный случай. Доказательство опирается на одну из предыдущих теорем.
Замечание 3.1 приводится без доказательства. Там приводится критерий периодичности решения. На сколько я понимаю, доказать не сложно – прямая разбивается на отрезки, начало каждого отрезка имеет одинаковые начальные условия.
Стр.76 – рассматривается моделирование в иммунологии.
В ходе рассмотрения модели формулируется ещё одна теорема 3.7.
|
| |
| |
| rznusl | Дата: Четверг, 15.07.2010, 22:17 | Сообщение # 10 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Стр. 81-100.
Далее (стр.82) идёт приложение.
Приложение посвящено разработанной программе (численного решения уравнения).
Я не думаю, что написание такой программы может вызвать какие-либо затруднения.
Единственное, на что хотелось бы обратить внимание – это на точность вычислений. Здесь используются сплайны, поэтому я не могу поспорить с выводами (нет собственного отрицательного опыта) – т.е. бывает случаи, когда уменьшение шага может привести к ухудшению решения (тогда надо определить оптимальный шаг, здесь же определён только верхний предел для шага).
Программа тестируется. Результат сравнивается с точным решением.
Приведены графики решения рассмотренных ранее примеров.
Стр. 91 – заключение.
Стр. 92 – список литературы.
|
| |
| |
| rznusl | Дата: Четверг, 15.07.2010, 22:30 | Сообщение # 11 |
|
Admin
Группа: Заблокированные
Сообщений: 949
Репутация: 0
Статус: Offline
| Выводы.
Работа понравилась. Однако анализировать было неудобно. Книжный вариант, конечно, было бы удобно читать, а на компьютере прокручивать очень неудобно. Думаю именно это помешало полностью разобраться. Теорию хотелось бы применить к физике газа.
Известно, что физические процессы идут в определённом направлении - например, тепло передаётся от более нагретого тела к более холодному. Однако эти процессы идут с некоторой вероятностью (они не абсолютны), кроме того, не видно явных причин (на атамарном уровне) тому, чтобы процесс не мог идти в противоположном направлении.
В общем. есть такая идея, что если взять газ в постоянном объёме с определённым расположением частиц (и скоростей), то рано или поздно ситуация повторится. Для одномерного случая это соблюдается с любой заданной точностью - проверяется непосредственно.
|
| |
| |
